Encuentran un catastro de hace 3.700 años, el ejemplo de geometría aplicada más antiguo del mundo
El matemático Daniel Mansfield lo halló olvidado en un museo de Estambul. En la tablilla se dan detalles legales y geométricos sobre un campo que se dividió después de que parte se vendiera
A plena vista en un museo de Estambul, una tablilla circular de arcilla que cabe sin problemas en una mano guardaba un secreto: en realidad se trataba del primer catastro conservado, datado hace 3.700 años, y el ejemplo de geometría aplicada más antiguo conocido. Un matemático de la Universidad de Nueva Gales del Sur (UNSW), en Australia, ha sido el responsable del hallazgo, que se acaba de publicar en la revista ' Foundations of Science'.
La pieza, conocida como Si.427, fue descubierta por primera vez a finales del siglo XIX en lo que hoy es el centro de Irak. Perteneciente a la cultura de la antigua Babilonia, se cree que fue creada de 1900 a 1600 a. C. «Es el único ejemplo conocido de un documento catastral de este período, y se trata de un plano utilizado por los topógrafos para definir los límites de la tierra. En este caso, nos brinda detalles legales y geométricos sobre un campo que se dividió después de que parte de él fuese vendido», explica el autor de este hallazgo, Daniel Mansfield, investigador de la Escuela de Matemáticas y Estadística de Ciencias de la UNSW
Se trata de un objeto significativo porque el topógrafo usó lo que ahora se conoce como el teorema de Pitágoras para hacer ángulos rectos precisos. «El descubrimiento y el análisis de la tableta tienen importantes implicaciones para la historia de las matemáticas -dice Mansfield-. Por ejemplo, esto es más de mil años antes de que naciera Pitágoras».
Mansfield y su olfato para los objetos trigonométricos
No es la primera vez que Mansfield encuentra artefactos matemáticos del mismo periodo. En 2017 halló un tipo único de tabla trigonométrica, conocida como Plimpton 322. «En general, se acepta que la trigonometría, la rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de los triángulos, fue desarrollada por los antiguos griegos que estudiaban el cielo nocturno en el siglo II a. C. -afirma. Pero los babilonios desarrollaron su propia 'proto-trigonometría' alternativa para resolver problemas relacionados con la medición del suelo».
Pero la nueva pieza es aún más antigua, por lo que el autor señala que seguramente Plimpton 322 estuvo insoirada en ella. «Hay toda una variedad de triángulos rectángulos con diferentes formas. Pero los topógrafos babilónicos solo pudieron utilizar un puñado muy pequeño. Plimpton 322 es un estudio sistemático todo este universo geométrico para descubrir las formas útiles», afirma Mansfield.
Objetivo: topografiar la tierra
En 2017, el equipo especuló sobre el propósito del Plimpton 322, con la hipótesis de que probablemente hubiera tenido algún propósito práctico, posiblemente utilizado para construir palacios y templos, construir canales o estudiar campos. «Con esta nueva tableta, podemos ver por primera vez por qué estaban interesados en la geometría: les ayudaba a establecer límites de tierra precisos».
Se trata de un momento en el que la tierra comienza a volverse 'propiedad privada'. «La gente comenzó a pensar en la tierra en términos de 'mi tierra y tu tierra', queriendo establecer un límite adecuado para tener relaciones positivas de vecindad. Y esto es lo que dice inmediatamente esta tableta. Es un campo que se divide y se establecen nuevos límites».
De hecho, otra pieza de un periodo similar recoge una disputa entre Sin-bel-apli, un individuo de alta alcurnia mencionado en muchas tabletas, incluida la Si.427, y una rica terrateniente, quienes tienen un litigio por unas palmeras datileras en la frontera entre sus propiedades. «El administrador local acepta enviar un topógrafo para resolver la disputa. Es fácil ver lo importante que es la precisión para resolver disputas entre personas tan poderosas», explica Mansfield.
«Nadie esperaba que los babilonios estuvieran usando triples pitagóricos de esta manera. Es más parecido a las matemáticas puras, inspirado en los problemas prácticos de la época».
Crear ángulos rectos: más fácil decirlo que hacerlo
Una forma sencilla de hacer un ángulo recto exacto es dibujar un rectángulo con lados 3 y 4, y una diagonal 5. Estos números especiales forman la 'triple pitagórica' o 'terna pitagórica' el famoso enunciado de «en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos») y un rectángulo con estas medidas tiene ángulos rectos matemáticamente perfectos. Esto era importante para los topógrafos antiguos, aunque todavía se usa en la actualidad. «Los antiguos topógrafos que hicieron Si.427 idearon algo aún mejor: utilizaron una variedad de diferentes triples pitagóricas, tanto como rectángulos como triángulos rectángulos, para construir ángulos rectos precisos», dice Mansfield.
Sin embargo, es difícil trabajar con números primos mayores que 5 en el sistema numérico babilónico de base 60. «Esto plantea un problema muy particular: su exclusivo sistema numérico de base 60 significa que solo se pueden usar algunas formas pitagóricas -dice Mansfield-. Parece que el autor de Plimpton 322 pasó por todas estas formas pitagóricas para encontrar estas útiles. Esta comprensión profunda y altamente numérica del uso práctico de los rectángulos se gana el nombre de 'proto-trigonometría', pero es completamente diferente a nuestra trigonometría moderna que involucra senos, cosenos y tangentes».
Cazando a Si.427
Mansfield se enteró por primera vez de la existencia de Si.427 cuando leyó sobre la pieza en los registros de excavación: la tableta fue desenterrada durante la expedición Sippar de 1894, en lo que hoy es la provincia de Bagdad, en Irak. «Fue un verdadero desafío rastrear la tablilla a partir de estos registros y encontrarla físicamente; el informe decía que la tablilla había ido al Museo Imperial de Constantinopla, un lugar que obviamente ya no existe. Usando esa información, emprendí una búsqueda para rastrearla, hablando con muchas personas en los ministerios y museos del gobierno turco, hasta que un día a mediados de 2018 una foto de Si.427 finalmente aterrizó en mi bandeja de entrada». Entonces, Mansfield supo que se la codiciada pieza estaba perdida entre las piezas de un museo.
Sin embargo, tras el detallado análisis, la tablilla aún esconde un misterio: en la parte posterior de la pieza, en la zona inferior, se enumera el número sexagesimal '25: 29', en letra grande. «No puedo entender qué significan estos números, es un enigma absoluto. ¡Estoy ansioso por discutir cualquier pista con historiadores o matemáticos que puedan tener una corazonada sobre lo que estos números intentan decirnos!».
ABces
